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 Sujet du message: 0.999... = 1
MessagePosté: 12 Juin 2007, 09:25 
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Tombé sur une nouveauté qui a de quoi choquer : http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

Outre le fait que les démonstrations sont aussi crédibles qu'elles peuvent être complexes, il s'agit, en somme, d'une théorie mathématique qui prouve que 0.999... (nombre avec une infinité de décimales à 9, noté 0.9| ou 0.9 - ou aussi avec un 9 surligné) est égal à 1. Et tout le gratin scientifique d'avoir déjà convenu collégialement à cette idée, avec plus ou moins de réticences je suppose.

Je vous engage à consulter aussi la version française qui est un raccourci de la version anglaise, et vous éclairera probablement un peu plus sur le pourquoi du comment.

J'en ai déjà discuté avec d'autres interlocuteurs sur un forum à prétention scientifique, et il m'a été impossible de faire naître en eux le moindre doute à ce propos.

Vos impressions sur la question?


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 Sujet du message: Re: 0.999... = 1
MessagePosté: 13 Juin 2007, 14:07 
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M. DCMOTO

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Prehisto a écrit:
Vos impressions sur la question?

Mathématiquement, les deux écritures ont la même valeur. En tant que mathématicien, je confirme.

En revanche, en tant qu'informaticien un peu terre à terre, je dirais que le doute est permis. C'est parce qu'en informatique il n'est pas possible d'avoir une infinité de chiffres après la virgule. Mais il ne faut pas confondre la réalité physique (celle de l'informaticien), avec l'abstraction (celle du mathématicien). En définitive ce dernier a raison, si on admet les définitions qu'il a données. L'informaticien objectera qu'on ne peut pas stocker une infinité de décimales, mais ça n'a rien à voir. L'objection ne peut pas être retenue.

C'est pareil en géométrie : un point n'a pas d'épaisseur. On ne peut donc pas le dessiner. Pourtant personne ne conteste la notion de point, même s'il n'a pas de réalité physique.

Daniel

PS: Ce sujet peut très vite dégénérer en troll. Pourtant il n'y a aucun doute sur l'identité des deux écritures. Pour éviter toute polémique inutile, je ne répondrai pas aux messages qui disent le contraire.

PS2: Mon intuition était bonne : il y a eu polémique. Heureusement, liloboot a eu la patience de tout expliquer, en vulgarisant de façon très claire et très pédagogique. Et pourtant il n'a pas totalement convaincu. Les mathématiques sont le plus passionnant des jeux de l'esprit, à condition d'en accepter les règles. En refusant de les appliquer, on passe à côté de beaucoup de satisfactions intellectuelles.


Dernière édition par Daniel Coulom le 27 Juin 2007, 08:33, édité 4 fois.

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MessagePosté: 13 Juin 2007, 14:17 
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Ne penses-tu pas, Daniel, que les mathématiciens jouent avec un "vide mathématique"? Car enfin comment se fait-il qu'en écrivant 0.9|, je vois quelque chose de différent de mes interlocuteurs? Comment se fait-il que je vois "un 0, une virgule, et un nombre de 9 le plus grand possible" - ce qui resterait dans les contraintes du système mathématique conventionnel qui ne peut envisager qu'un nombre puisse être égal à l'infini - et que d'autres voient "un 0, une virgule, et une décimale infinie de 9"?

Ne manque-t-il pas quelque chose pour faire la distinction entre les deux conceptions? Deux notations distinctes? 0.9| et 0.9||, par exemple?


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MessagePosté: 15 Juin 2007, 06:22 
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Le sujet est-il donc si sensible? :L


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MessagePosté: 17 Juin 2007, 08:03 
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Vous êtes tous partis sur la lune?


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MessagePosté: 18 Juin 2007, 06:33 
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Je trouve la demonstration un peu facile. Le chiffre 0.99999... ne peut pas s'ecrire (sur papier). Je dirais qu'il tend vers 1 plutot de dire qu'il est egal a 1. Sinon, cela veut dire que toutes les mathematiques sont fausses puisque 2 nombres differents peuvent etre egaux.


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MessagePosté: 18 Juin 2007, 08:08 
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Yoann Riou a écrit:
Je trouve la demonstration un peu facile. Le chiffre 0.99999... ne peut pas s'ecrire (sur papier).

Ce qui n'empêche pas de le conceptualiser. J'avançais justement le confort de notation pour argument. En fait, il s'écrit 0.9|. Mais c'est vrai qu'on pourrait envisager qu'il n'existe pas dans le système conventionnel des mathématiques, puisque qu'un nombre ne peut pas être suffisament grand pour être infini.

Yoann Riou a écrit:
Je dirais qu'il tend vers 1 plutot de dire qu'il est egal a 1.

Je comprends ce que tu veux dire. Mais certains se sont insurgés contre la formulation, prétextant à juste titre qu'un nombre ne tend pas vers quelque chose, puisqu'il est invariable, figé. A défaut de pouvoir défendre correctement le fond, ils attaquent par la forme. C'est leur stratégie pour se débarrasser des importuns.

Yoann Riou a écrit:
Sinon, cela veut dire que toutes les mathematiques sont fausses puisque 2 nombres differents peuvent etre egaux.

C'est la conclusion à laquelle on pourrait arriver, et même que comme tout nombre est égal à celui qui lui est immédiatement supérieur ou inférieur, tous les nombres sont donc égaux entre eux. Mais cela n'a pas l'air de les gêner outre mesure :D


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MessagePosté: 18 Juin 2007, 08:27 
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Prehisto a écrit:
Je comprends ce que tu veux dire. Mais certains se sont insurgés contre la formulation, prétextant à juste titre qu'un nombre ne tend pas vers quelque chose, puisqu'il est invariable, figé. A défaut de pouvoir défendre correctement le fond, ils attaquent par la forme. C'est leur stratégie pour se débarrasser des importuns.


Vu que le nombre ne peux pas s'ecrire, tout ceci me semble etre un bel arrondi ;) Et comme tu dis, si un nombre est egal a son directement superieur et inferieur, tous les nombres sont egaux, ce qui n'a absolument aucun sens.


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MessagePosté: 21 Juin 2007, 18:18 
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Marrant, j'avais déjà vu ici ou là cette assertion, mais je n'avais jamais eu la curiosité d'approfondir. Je dois dire que le lien wikipédia (merci Prehisto) m'a convaincu de la chose. En faisant d'autres recherches, je n'ai pas pu trouver de source convaincante qui revendique le contraire, malgré les innombrables débats qui ont lieu à ce sujet sur le net (tu as raison Daniel, ce sujet peut très facilement dégénérer en troll, d'ailleurs c'est déjà fait ici ;) ). Dans tous les cas, la seule chose qui semble aller contre la conclusion mathématique est... l'intuition, qui se revèle souvent trompeuse dans bien des domaines. Je ne vais pas revenir sur les démonstrations existantes, qui me semblent suffisamment claires, mais voici quelques remarques pour les « sceptiques » Yoann et Prehisto ;) :
Yoann Riou a écrit:
Je trouve la demonstration un peu facile. Le chiffre 0.99999... ne peut pas s'ecrire (sur papier).

Cela ne signifie pas qu'il n'existe pas : le nombre 0.333... ne peut pas non plus « s'écrire » sur papier de cette manière, mais il existe, et d'ailleurs, on le rencontre beaucoup plus souvent sous sa forme fractionnaire : 1/3.

Yoann Riou a écrit:
Sinon, cela veut dire que toutes les mathematiques sont fausses puisque 2 nombres differents peuvent etre egaux.

Mais 0.999... et 1 ce ne sont PAS deux nombres différents ;) C'est justement le sujet : ce sont deux façons différentes de représenter le même nombre, tout comme 27-26 ou 27/27.

Prehisto a écrit:
Mais c'est vrai qu'on pourrait envisager qu'il n'existe pas dans le système conventionnel des mathématiques, puisque qu'un nombre ne peut pas être suffisament grand pour être infini.

C'est la notation décimale bancale (0.999...) qui peut faire penser instinctivement que ce nombre n'existe pas. Mais c'est tout à fait différent du concept mathématique d'infinité. En effet, l'infini n'est pas un nombre, mais « 0. suivi d'une infinité de 9 » EST un nombre.

Prehisto a écrit:
et même que comme tout nombre est égal à celui qui lui est immédiatement supérieur ou inférieur,

Dans l'ensemble des réels, la notion de « nombre immédiatement inférieur ou supérieur » n'existe pas, si je ne me trompe. Quel est le nombre immédiatement supérieur à 1 ? Dans l'intervalle formé par deux nombres réels, il existe une infinité de nombres réels. La notion de successeur n'existe pas. C'est d'ailleurs une façon de démontrer l'assertion : il n'existe pas de nombre compris entre 0.999... et 1 (=> c'est le même nombre).

Prehisto a écrit:
tous les nombres sont donc égaux entre eux.

En partant de 0.999... = 1, je te souhaite bien du courage pour démontrer que 1 = 2 ;)

En conclusion, je pense que le malentendu est dû à deux choses :
- l'intuition que nous avons d'emblée qui nous dit que ça ne PEUT PAS être vrai, et qui résiste malgré l'argumentaire mathématique indiscutable ;
- sans doute l'imperfection de la théorie des nombres dans sa forme actuelle.


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MessagePosté: 22 Juin 2007, 02:55 
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Jusqu'a preuve du contraire, personne n'a pousse la multiplication de 0,333333... par 3 jusqu'au bout (c'est a dire a l'infini) ... Donc, dire que c'est egal a 0,999999.... n'est que de la supposition ;)


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MessagePosté: 22 Juin 2007, 08:46 
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M. DCMOTO

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Il faut préciser un point important, évoqué par liloboot : l'ensemble concerné est le corps des réels. L'oubli de cette hypothèse est probablement l'origine du malentendu.

Daniel


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MessagePosté: 22 Juin 2007, 14:58 
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Yoann Riou a écrit:
Jusqu'a preuve du contraire, personne n'a pousse la multiplication de 0,333333... par 3 jusqu'au bout (c'est a dire a l'infini) ... Donc, dire que c'est egal a 0,999999.... n'est que de la supposition ;)

Mmm, dois-je déduire de la présence du smiley qu'il s'agit d'une plaisanterie ? Contrairement aux mathématiques, l'usage des smileys n'est pas une science exacte, et est sujet à l'interprétation... Mais j'opte pour la plaisanterie, je ne répondrai donc pas ;)


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MessagePosté: 22 Juin 2007, 15:47 
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liloboot a écrit:
En faisant d'autres recherches, je n'ai pas pu trouver de source convaincante qui revendique le contraire

Moi non plus, effectivement. Mais je mets ça seulement sur l'effet de surprise. Le sujet n'a pas encore été creusé par l'opposition. Ou du moins est-ce en cours.

liloboot a écrit:
Dans tous les cas, la seule chose qui semble aller contre la conclusion mathématique est... l'intuition, qui se revèle souvent trompeuse dans bien des domaines.

Je ne me permettrais pas de cracher ainsi sur l'intuition, qui a fait tant de bien à l'humanité, au contraire de ce que tu prétends. Ceux qui ont commis les erreurs les plus effroyables sont justement ceux qui avaient décidés de ne plus l'écouter.

liloboot a écrit:
Cela ne signifie pas qu'il n'existe pas : le nombre 0.333... ne peut pas non plus « s'écrire » sur papier de cette manière, mais il existe, et d'ailleurs, on le rencontre beaucoup plus souvent sous sa forme fractionnaire : 1/3.

Pas d'accord : 1/3, c'est précisément une fraction, avec des nombres finis. C'est-à-dire une division non résolue, irréductible. Elle reste aisément manipulable dans un calcul sous sa forme fractionnaire.

liloboot a écrit:
Prehisto a écrit:
tous les nombres sont donc égaux entre eux.

En partant de 0.999... = 1, je te souhaite bien du courage pour démontrer que 1 = 2 ;)

Ben en ce qui me concerne, c'est déjà fait (pas par moi)... de proche en proche...

Daniel Coulom a écrit:
Il faut préciser un point important, évoqué par liloboot : l'ensemble concerné est le corps des réels. L'oubli de cette hypothèse peut provoquer le malentendu.

Peu importe dans quel ensemble on travaille, le réels ou les rationnels. On peut voir ça dans un sens global : il s'agit de nombres.

Yoann Riou a écrit:
Jusqu'a preuve du contraire, personne n'a pousse la multiplication de 0,333333... par 3 jusqu'au bout (c'est a dire a l'infini) ... Donc, dire que c'est egal a 0,999999.... n'est que de la supposition ;)

Ca, par contre, 0.3|*3=0.9|, ça peut être vrai, dans le sens où les deux nombres sont forcéments inscrits dans "un infini de même taille". Mais tu as raison quelquepart, Yoann, il y a peut-être là un statut de l'infinité que certains mathématiciens (ce qui est aussi amusant qu'étrange) ont visiblement énormément de difficultés à comprendre : que, malgré le fait que l'on sache parfaitement de quoi un nombre est constitué, on ne puisse pas dire comment il se finit... parce que justement il ne se finit pas :p


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MessagePosté: 22 Juin 2007, 20:21 
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Prehisto a écrit:
Mais je mets ça seulement sur l'effet de surprise. Le sujet n'a pas encore été creusé par l'opposition. Ou du moins est-ce en cours.

Ce n'est pas parce que le sujet est apparu récemment sur wikipédia (2 ans quand même) qu'il est nouveau. Le débat continue de faire rage sur sci.math depuis des années. J'ai également lu par exemple que ce sujet a été discuté pendant plus de sept ans (!) sur les forums de blizzard.net avant que Blizzard ne mette fin au débat dans des communiqués officiels comprenant des démonstrations. Comme indiqué sur la page wikipédia, Euler a donné une preuve de l'assertion dès le 18ème siècle en utilisant un résultat sur les séries infinies. Et dans la communauté mathématique, ce débat ne semble pas avoir lieu, et je comprends pourquoi (encore une fois, je serais intéressé par une référence quelconque contredisant sérieusement ceci). Ce sujet provoque un intérêt bien au-delà de son statut MINEUR au sein des Mathématiques. Pour les mathématiciens, cela ne pose aucun problème, c'est juste une conséquence de l'écriture décimale, et ça ne remet pas du tout en cause la théorie des nombres. Il semblerait que le seul intérêt que les mathématiciens trouve dans ce débat est la compréhension de la façon dont les gens conçoivent (ou déforment) la théorie des nombres, les concepts d'infini et de convergence aux limites, etc. Et c'est en effet intéressant, et même amusant, de constater en lisant quelques posts ici ou là à quel point les mathématiques de base, ou la logique mathématique, sont largement méconnues. Le net est rempli de fausses démonstrations de l'assertion « 0.(9) != 1 » : elles sont basées sur l'intuition, ou utilisent à mauvais escient un opérateur logique quelconque, ou encore comprennent de grossières erreurs arithmétiques ou de calcul de limites, quand elles ne partent pas d'hypothèses complètement farfelues.

Prehisto a écrit:
Je ne me permettrais pas de cracher ainsi sur l'intuition, qui a fait tant de bien à l'humanité, au contraire de ce que tu prétends.

N'exagérons rien, j'ai employé le terme « souvent » ;) En tant que grand partisan de l'utilisation de l'intuition dans la recherche scientifique, je suis d'accord avec toi, mais accepte le fait que notre intuition nous joue parfois des tours (illusions d'optique, corrélations illusoires...). Ici, l'intuition se heurte à une vérité mathématique : nier l'assertion équivaut ni plus ni moins à nier la théorie des nombres telle qu'elle est utilisée couramment. Alors pourquoi pas : il est tout à fait possible de construire un système dans lequel 0.(9) != 1, en posant cette assertion comme axiome par exemple. De tels systèmes existent, mais sont rarement utilisés et ont peu ou pas d'applications.

Prehisto a écrit:
Pas d'accord : 1/3, c'est précisément une fraction, avec des nombres finis. C'est-à-dire une division non résolue, irréductible. Elle reste aisément manipulable dans un calcul sous sa forme fractionnaire.

C'est pourquoi on n'utilise jamais la forme décimale ;) Cela n'empêche pas que 1/3 = 0.(3), ce n'est pas une approximation, c'est sa valeur décimale EXACTE. Nier cela revient de nouveau à nier les Mathématiques. Qu'est-ce qu'une division non résolue ? Si a et b sont deux nombres, je peux te donner le résultat décimal de a/b, même s'il y a une infinité de nombres après la virgule : la partie entière et chaque décimale sont complètement définies, il n'y a pas de mystère. Calculer la décimale à une position n après la virgule ne pose aucun problème (et est même trivial dans le cas de 0.(3)). Même si on ne peux effectivement tous les « écrire sur papier », cela suffit pour en faire un nombre manipulable en mathématiques.

On n'y peut rien si le système décimal souffre ici du fait que 10 n'est pas divisible par 3 ; en base 9 la question ne se pose même pas.

Prehisto a écrit:
liloboot a écrit:
En partant de 0.999... = 1, je te souhaite bien du courage pour démontrer que 1 = 2 ;)

Ben en ce qui me concerne, c'est déjà fait (pas par moi)... de proche en proche...

Démonstration ? Encore une fois, « de proche en proche » n'est pas applicable. Tu semble voir dans le nombre 0.(9) le nombre immédiatement inférieur à 1. Quel est alors le nombre immédiatement inférieur à 0.(9) ? Et d'ailleurs, quel est le nombre immédiatement supérieur à 1 ?

Prehisto a écrit:
Peu importe dans quel ensemble on travaille, le réels ou les rationnels. On peut voir ça dans un sens global : il s'agit de nombres.

Mais quelle est ta notion de nombre ? Tu ne peux rien déduire tant que tu n'as pas précisé ce point. Les Mathématiques t'offrent justement des bases solides en définissant clairement ce que sont l'ensemble des réels et des rationnels. Il y a de bonnes chances pour que ta définition corresponde une de ces définitions mathématiques. Mais tu as raison, plusieurs démonstrations de la proposition sont valables si l'on se restreint à l'ensemble des rationnels.

Prehisto a écrit:
Yoann Riou a écrit:
Jusqu'a preuve du contraire, personne n'a pousse la multiplication de 0,333333... par 3 jusqu'au bout (c'est a dire a l'infini) ... Donc, dire que c'est egal a 0,999999.... n'est que de la supposition ;)

Ca, par contre, 0.3|*3=0.9|, ça peut être vrai, dans le sens où les deux nombres sont forcéments inscrits dans "un infini de même taille". Mais tu as raison quelquepart, Yoann, il y a peut-être là un statut de l'infinité que certains mathématiciens (ce qui est aussi amusant qu'étrange) ont visiblement énormément de difficultés à comprendre

Le fait de douter de la correction de 3 * 0.(3) = 0.(9) dénote une incompréhension du « nombre à décimales illimitées ». De même pour 1/3 = 0.(3). Mais les mathématiciens n'ont aucun problème avec ça ;) L'algorithme récursif de résolution du problème des tours de Hanoï fonctionne, on n'a pas besoin de le tester sur une tour avec une infinité d'étages : on SAIT et on peut démontrer qu'il fonctionne. De même, on SAIT comment se construit le nombre 0.(3) et il est totalement défini, même si on ne peux pas l'écrire complètement sous sa forme décimale.


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MessagePosté: 22 Juin 2007, 21:53 
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liloboot a écrit:
Comme indiqué sur la page wikipédia, Euler a donné une preuve de l'assertion dès le 18ème siècle en utilisant un résultat sur les séries infinies.

Que cela ne date pas d'aujourd'hui me fait apparaître l'affaire sous un jour encore plus terrible...

liloboot a écrit:
Et dans la communauté mathématique, ce débat ne semble pas avoir lieu, et je comprends pourquoi

Il me semble, en effet, que la démonstration contraire est beaucoup plus difficile qu'il n'y paraît.

liloboot a écrit:
(encore une fois, je serais intéressé par une référence quelconque contredisant sérieusement ceci).

Moi aussi :)

liloboot a écrit:
Ce sujet provoque un intérêt bien au-delà de son statut MINEUR au sein des Mathématiques.

Mineur, peut-être pas. Si tous ceux qui se penchent sur la question font les mêmes déductions... primaires, comme je l'ai fait ("tous les nombres sont égaux entre eux"), il y a de quoi ébranler les fondements.

liloboot a écrit:
Et c'est en effet intéressant, et même amusant, de constater en lisant quelques posts ici ou là à quel point les mathématiques de base, ou la logique mathématique, sont largement méconnues. Le net est rempli de fausses démonstrations de l'assertion « 0.(9) != 1 » : elles sont basées sur l'intuition, ou utilisent à mauvais escient un opérateur logique quelconque, ou encore comprennent de grossières erreurs arithmétiques ou de calcul de limites, quand elles ne partent pas d'hypothèses complètement farfelues.

Je comprends que ça puisse être difficile aussi. Même pour des mathématiciens confirmés. Pour y arriver, il faudrait peut-être en venir à démontrer - de quoi qu'il s'agisse - quelque chose qui aurait dû tomber sous le coup de l'évidence. Mais que personne ne voit? En tout cas, pour l'instant, c'est l'impasse pour l'opposition, c'est sûr.

liloboot a écrit:
mais accepte le fait que notre intuition nous joue parfois des tours (illusions d'optique, corrélations illusoires...).

Attention. L'illusion d'optique trompent nos sens, et notre intuition peut néanmoins nous révéler qu'il s'agit bien d'une illusion.

liloboot a écrit:
Démonstration ? Encore une fois, « de proche en proche » n'est pas applicable. Tu semble voir dans le nombre 0.(9) le nombre immédiatement inférieur à 1. Quel est alors le nombre immédiatement inférieur à 0.(9) ? Et d'ailleurs, quel est le nombre immédiatement supérieur à 1 ?

C'est une question à laquelle j'ai été confronté aussi sur un autre forum. J'ai bien tenté d'y répondre, mais mes connaissances en mathématiques étaient trop pauvres et la démonstration périlleuse. J'ai néanmoins noté l'aspect du "confort de notation". C'est sûr que 1 et 0.9 sont tout à fait conceptualisables. D'où la possibilité des tests de proximité. Le nombre immédiatement inférieur à 0.9, quant à lui, ne l'est pas clairement. Il s'agirait d'un nombre commençant par un 0, suivi d'une virgule, puis d'une infinité de 9 et (excusez le sacrilège) conclu par un 8. Inenvisageable, en effet.

Du moment que ça n'a d'intérêt que pour ce que les mathématiciens en font, on peut laisser couler. Je ne vais pas t'accabler plus avec mon verbiage, puisque tu sembles être quelqu'un de suffisament ouvert pour ne pas occulter définitivement l'éventualité que l'égalité 0.9=1 puisse ne pas être vérifiée, au contraire de ceux auxquels j'ai eu affaire dans le forum susdit. Il faut dire aussi que celui qui parviendrait à démontrer sérieusement que cette égalité est fausse aurait une lourde charge à porter. Mes encouragements l'accompagnent.


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