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MessagePosté: 23 Juin 2007, 01:35 
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Prehisto a écrit:
Que cela ne date pas d'aujourd'hui me fait apparaître l'affaire sous un jour encore plus terrible...

Je comprends ce que tu veux dire, mais, sans offense, cette assertion n'est contestée que par des « profanes ». Les débats concernant l'astrologie ou la numérologie sont encore plus anciens. Je n'ai néanmoins pas l'ombre d'un doute quant au fait que ce ne sont que des pseudosciences. Quand la croyance est forte, elle peut résister à tous les argumentaires pendant un temps indéfini, quelle que soient les réfutations et les preuves scientifiques avancées.

Prehisto a écrit:
liloboot a écrit:
Et dans la communauté mathématique, ce débat ne semble pas avoir lieu, et je comprends pourquoi

Il me semble, en effet, que la démonstration contraire est beaucoup plus difficile qu'il n'y paraît.

Comme point de départ, je te propose de prendre une des démonstrations de la proposition et de montrer à quel niveau il y a erreur. Cela ne prouvera pas automatiquement le contraire de l'assertion, mais ce sera un bon début. Car s'il peut être difficile de prouver quelque chose en mathématiques, il est beaucoup plus facile de montrer en quoi une démonstration mathématique existante est erronée. Dans le cas présent, les démonstrations sont simples (pour certaines en tout cas, faisant appel à des notions accessibles à des élèves de collège ou de lycée) et rigoureuses, et pourtant PERSONNE n'est parvenu à ébranler ne serait-ce que l'une d'entre elles.

Prehisto a écrit:
liloboot a écrit:
Ce sujet provoque un intérêt bien au-delà de son statut MINEUR au sein des Mathématiques.

Mineur, peut-être pas. Si tous ceux qui se penchent sur la question font les mêmes déductions... primaires, comme je l'ai fait ("tous les nombres sont égaux entre eux"), il y a de quoi ébranler les fondements.

Encore une fois, pas pour un mathématicien. Cette argument ne tient pas pour les raisons que j'ai déjà évoquées. Les contradicteurs recherchent une faille dans les mathématiques là où il n'y en a pas. Il leur semble impossible d'admettre que 0.(9) = 1 dans R car cela est contre-intuitif. Admettre que, dans l'ensemble C des nombres complexes, i² = -1 est tout aussi contre-intuitif. Les mathématiques ne sont pas là pour décrire la réalité, c'est le rôle de la physique. Des entités telles que les nombres négatifs ou l'infini n'ont pas d'équivalent dans le monde réel, mais ce n'est pas un problème. Elles ont été inventées pour rendre la théorie mathématique plus puissante. L'écriture 0.(9) est une absurdité dans le monde réel. Mais il faut tout simplement admettre que, dans la théorie mathématique, ce nombre existe et est égal à 1.

Prehisto a écrit:
Je comprends que ça puisse être difficile aussi. Même pour des mathématiciens confirmés. Pour y arriver, il faudrait peut-être en venir à démontrer - de quoi qu'il s'agisse - quelque chose qui aurait dû tomber sous le coup de l'évidence. Mais que personne ne voit? En tout cas, pour l'instant, c'est l'impasse pour l'opposition, c'est sûr.

Je comprends ton scepticisme scientifique. Il est sain, et la science avance en partie grâce à lui (je conseille à ce sujet la lecture très enrichissante des travaux de Paul Feyerabend, et en particulier de son essai « Contre la méthode »). Mais, pour le coup, je ne suis pas d'accord, car on se heurte encore une fois à des preuves mathématiques formelles. Ce n'EST PAS une CONJECTURE (assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter), c'est une PROPOSITION (assertion qui a été démontrée mathématiquement). De nouveau, on peut tout à fait décréter que 0.(9) != 1, mais on sort alors automatiquement de la théorie des nombres telle qu'on la connaît.

Prehisto a écrit:
C'est sûr que 1 et 0.9 sont tout à fait conceptualisables. D'où la possibilité des tests de proximité. Le nombre immédiatement inférieur à 0.9, quant à lui, ne l'est pas clairement. Il s'agirait d'un nombre commençant par un 0, suivi d'une virgule, puis d'une infinité de 9 et (excusez le sacrilège) conclu par un 8. Inenvisageable, en effet.

Tu n'es pas bien loin d'admettre l'incroyable :) En suivant le même genre de raisonnement, calcule la différence 1 - 0.(9). Il s'agirait de 0.(0) suivi d'un hypothétique 1. Mais, par définition de la décimale infinie, ce 1 n'apparaît jamais (l'écriture 0.(0)1 n'est pas acceptable en mathématiques, comme tu l'as admis). L'infinité de 9 dans 0.(9) implique une infinité de 0 dans le résultat de 1 - 0.(9). Autrement dit 1 - 0.(9) = 0.(0) = 0.

Prehisto a écrit:
Du moment que ça n'a d'intérêt que pour ce que les mathématiciens en font, on peut laisser couler.

Je pense sincèrement que l'intérêt mathématique de la chose est proche de zéro : c'est juste une conséquence du système décimal qui peut paraître déroutante au premier abord (et plus si affinités ;) ).

Prehisto a écrit:
Je ne vais pas t'accabler plus avec mon verbiage, puisque tu sembles être quelqu'un de suffisament ouvert pour ne pas occulter définitivement l'éventualité que l'égalité 0.9=1 puisse ne pas être vérifiée

Je suis en effet très ouvert, mais je vais être parfaitement clair : je suis absolument certain que, dans le contexte de la théorie des nombres, 0.(9) = 1, en tout cas tout autant que 3 - 3 = 0. De multiples démonstrations irréfutables existent => réfuter revient à nier la théorie des nombres et/ou la logique mathématique, ce qui me paraît beaucoup plus inconcevable intuitivement ( ;) ) que d'accepter le fait que 0.(9) = 1. Comme je l'ai dit et redit, les systèmes acceptant l'écriture 0.(9) != 1 existent mais n'ont qu'un intérêt limité, voire inexistant (dans de tels systèmes, on ne peut par exemple pas définir la division, l'addition, ou, au choix, d'autres concepts fondamentaux, sans rentrer en contradiction avec le système lui-même ; la définition de quantité infinitésimale qui sépare 1 de 0.(9) pose également problème).

Dans un grand élan de pédagogie presque pathologique chez moi ;), je serai heureux de répondre à toute question que tu pourras te poser sur l'une ou l'autre des démonstrations de la proposition ou des « pseudo-preuves du contraire », dans la mesure de mes moyens, bien entendu.


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MessagePosté: 24 Juin 2007, 07:53 
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liloboot a écrit:
Comme point de départ, je te propose de prendre une des démonstrations de la proposition et de montrer à quel niveau il y a erreur.

Je ne pense pas que ce soit à ce niveau qu'il faille attaquer la démonstration.

Ce serait plutôt, pour analogie, comme si jusqu'à maintenant, le signe "x" était le seul signe pour exprimer une multiplication et une division, et que cela n'ait été utilisé que dans le sens de la multiplication. Un jour, quelqu'un utilise ce signe pour effectuer une division, et obtient un résultat différent. Et tout le corps mathématique de s'exclamer, après être revenu du choc de la révélation : "Mais c'est vrai! Il a raison!". Jusqu'au jour où l'on se rendrait compte que, bien évidemment, le trouble vient du fait qu'un seul signe est utilisé pour les deux opérations, alors qu'il devrait y en avoir deux.

Mais ça, ce serait seulement pour conserver prudemment l'éventualité que 0.999...=1.

Je suis allé aussi, pour ma part, survoler un peu les discussions sur le sujet. J'ai trouvé quelqu'un que ces démonstrations semblent beaucoup amuser :

Citation:
hé hé... Sauf que le probleme ne vient pas de "l'infini". le VRAI probleme c'est que la suite ne converge pas.

Exemple avec une suite bornée:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...

regroupement 1: S = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0

regroupement 2: S = 1 - (1-1) - (1-1) - (1-1) - ... = 1 - 0 - 0 - ... = 1

Il faudrait en déduire donc que 0 = 1.

La même personne a aussi posté ceci :

Citation:
Soit:
A = 1+2+4+8+16+32+64+...

Donc:
2A = 2+4+8+16+32+64+128+...

D'où:
A - 2A = 1

=> A = -1

Il faudrait en déduire donc que 1+2+4+8+16+32+64+... = -1.

Comme quoi, l'infini, on peut lui faire dire n'importe quoi :D


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MessagePosté: 24 Juin 2007, 09:45 
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Et puisque tu me demandais d'essayer de te démontrer que 1=2, je pourrais utiliser l'une des méthodes ci-dessus :

S = 2 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...

regroupement 1: S = (2-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 1 + 0 + 0 + ... = 1

regroupement 2: S = 2 - (1-1) - (1-1) - (1-1) - ... = 2 - 0 - 0 - ... = 2

On pourrait en déduire donc, effectivement, que 1 = 2. ;)


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MessagePosté: 24 Juin 2007, 12:50 
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Prehisto a écrit:
Comme quoi, l'infini, on peut lui faire dire n'importe quoi :D

On va finir par faire des divisions par zero :D


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MessagePosté: 25 Juin 2007, 06:51 
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Voila comment je comprend l'erreur :

Appelont le chiffre suivant :

C(N)

C represent 0.9 et N le nombre de "9" apres la virgule.

C(1) = 0.9
C(2) = 0.99
C(3) = 0.999
...

Appelons "~" l'infini ... mais l'infini n'existe pas en tant que nombre, mais comme tendance ( -> ) donc C(->~)=0.999......

1-C(1) = 0.1
1-C(2) = 0.01
1-C(3) = 0.001
.....

Le probleme vient quand il faut calculer la difference entre 1 et C(N). Plus N tend vers l'infini, plus cette difference tend vers 0.

Donc j'ecrierais la difference de la facon suivante :

1-C(->~) = ->0

Donc, je pense que dire que 0.99...=1 revient a faire un arrondi, et qu'en fait, on se rapproche de l'infiniment petit plutot qu'une egalite pure et simple comme 1=1.

Je dirais qu'il y a une vide mathematique sur l'ecriture. Certains on essaye d'explique cette difference par la notation suivante : 0.0000....0001 ... Hors cette ecriture est impossible puisque l'on a ici un nombre qui semble etre fini (pas de ... apres le 1). Je pense que la meilleur approche pour remplacer ce 0.000...0001 est de dire qu'il tend vers 0, en parallele avec nombre de 9 qui tendent vers l'infini.


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MessagePosté: 25 Juin 2007, 08:50 
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C'est a peu près comme ça que tout matheux pur et dur le comprends, oui.

A la question : "Y a-t-il un nombre qui puisse être infini?", un professeur de mathématique du secondaire répondra "Non, car il existera toujours un nombre plus grand que le nombre trouvé". C'est en tout cas comme ça que j'ai toujours compris, pour ma part, la notion d'infinité dans l'univers mathématique conventionnel.

Dans cet univers, ces nombres existent aussi, mais ont des propriétés différentes. 0.9| n'est plus "un 0, une virgule et une décimale composée d'un nombre infini de 9" mais plutôt "un 0, une virgule et une décimale composée d'un nombre de 9 le plus grand possible". Or, il n'y a qu'une seule notation pour les deux conceptions. D'où confusion... et vide mathématique.

L'un des arguments avancés pour une démonstration par la calcul est "Tout le monde est bien d'accord sur le fait que 1/3 = 0.3333... ?". C'est une chose que personne ne peut nier, mais chacun regardant cette égalité avec sa propre conception de l'infinitude du nombre. Pour les partisans de "l'infini absolu", cette égalité autorise le calcul sous sa forme décimale. Pour les partisans de "l'infini conventionnel", elle ne l'autorise pas. J'avais parlé, dans un forum, pour défendre mon point de vue, du "caractère organique de la chiffrabilité", ce qui avait soulevé pas mal de sarcasmes.

Il est compréhensible que l'égalité 0.9| = 1 soit mise en devanture. Elle a déjà sa part de sensationnel et reste la la plus crédible de toutes, et donc la plus facilement défendable. Mais si l'on accepte que 0.9| = 1, on accepte aussi que 0=1 et que 1+2+4+8+16+... = -1 puisque les démonstrations qui aboutissent à ces résultats suivent le même cheminement et reposent sur les mêmes postulats.


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MessagePosté: 26 Juin 2007, 14:32 
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Prehisto a écrit:
J'avais parlé, dans un forum, pour défendre mon point de vue, du "caractère organique de la chiffrabilité", ce qui avait soulevé pas mal de sarcasmes.

Si je comprends bien, tu entends par là que tout dépend de l'interprétation que l'on donne à différents concepts. C'est à ce moment là que tu ne fais plus de mathématiques et que tu ne pourras jamais t'entendre sur ce point avec des « matheux ». Les mathématiques sont la seule science qui ne laissent pas de place à l'interprétation ou à l'opinion personnelle. La notion d'infini y est parfaitement claire et manipulable, il n'y a pas « d'infini absolu » et « d'infini conventionnel ». Tant que tu resteras dans un espace où tu peux interpréter les symboles à ta guise, tu peux en effet prouver tout et son contraire. Concernant ton argumentaire sur la double-signification du signe 'x', une telle chose n'existe pas en mathématiques. Je peux également te prouver très facilement que « 1 = 2 » si je décrète que le signe '=', en plus ou à la place de signifier « est égal à », signifie « est différent de ». Et tout le corps mathématique de s'exclamer, après être revenu du choc de la révélation : "Mais c'est vrai! Il a raison!" ? À partir du moment où il y a plusieurs interprétations possibles, on peut dire tout et n'importe quoi : c'est pourquoi les mathématiques ne l'autorisent pas.

Dans la théorie des nombres, comme la division euclidienne (qui elle-même ne tombe bien sûr pas du ciel ;) ) nous le dit : 1/3 = 0.(3). Exactement, pas de manière approchée, comme tu l'as souligné. Les partisans de ce que tu appelles « l'infini conventionnel » ne font pas de mathématiques s'ils parlent de ce sujet en sous-entendant cette limitation.

Un système formel tel que la théorie des nombres repose sur des symboles, des axiomes écrits avec ces symboles et des règles de production agissant sur les axiomes et les assertions dérivées. Les axiomes sont par définition des assertions vraies. À partir des règles de prodution, on dérive d'autres assertions vraies, que l'on appelle des théorèmes (je ne connais pas vraiment tes connaissances en mathématiques, je ne sais pas très bien si tu comprends toutes les notions que j'utilise, excuse-moi si je suis parfois trop explicite ou au contraire pas assez). On prouve alors « mécaniquement » (démonstrations) que dans ce contexte très rigoureux, le symbole 1 peut être substitué aux symboles 1.00, 1.(0), 4/4, cos(0) ou 0.(9). On ne peut pas faire dire aux symboles ce que l'on veut, ce que l'on « interprète », ce qui est tiré de notre « vision des choses » ou de notre « expérience personnelle ». En contestant ce fait, on conteste la propriété « VRAI » d'un ou de plusieurs axiomes. On pourrait objecter le fait que l'arithmétique est inconsistante, ce qui est vrai, mais on prouve également que l'assertion « 0.(9) = 1 » n'est pas indécidable. L'objection n'est donc pas recevable.

Il faut bien comprendre qu'il n'y a pas « équivalence » entre les mathématiques et le monde réel (pas de bijection, pour reprendre un terme mathématique), et c'est cette indépendance des mathématiques qui fait sa force. Je ne vois pas très bien comment être plus clair.

Ou plutôt si ;) Un exemple : la géométrie. La géométrie euclidienne a fait autorité pendant 2000 ans. Elle « formalisait » admirablement ce qui se passe dans le monde réel. Elle n'avait qu'un « problème » : le dernier des cinq postulats de départ (axiomes) avait dû en quelque sorte être « ajouté » par défaut (les quatre premiers formant ce que l'on appelle la « géométrie absolue ») parce qu'Euclide n'avait pas pu le démontrer à partir des quatre autres. Des dizaines de démonstrations, toutes fausses, avaient au cours des siècles suivants été proposées. Jusqu'à ce qu'un mathématicien italien tente au 18ème siècle de démontrer le postulat en le remplaçant par sa négation. Ainsi :

« Par un point donné, on fait passer exactement une parallèle à une droite donnée » (Euclide)

devenait :

« Par un point donné, on fait passer au moins deux parallèles à une droite donnée. »

Il espérait trouver une contradiction, ce qui prouverait le 5ème postulat d'Euclide. Il avait sans le savoir inventé ce que l'on appellerait plus tard la « géométrie hyperbolique ». Et si tu ne fais passer par ce point aucune droite parallèle, tu fais alors de la « géométrie elliptique ». Le caractère non-intuitif (tu en conviendras) de ces affirmations n'a AUCUNE importance. Elles sont, tout comme les théorèmes qui en découlent, VRAIES dans le système considéré, même si ces théorèmes sont « faux » dans notre monde (entre guillemets, bien sûr, puisque ça ne veut strictement rien dire). Le fait est qu'on a pu, en étudiant ces nouvelles théories, trouver des applications pratiques qui étaient inimaginables en géométrie euclidienne. Ce sont de nouveaux types de géométrie, une bifurcation du courant des mathématiques qui était jusque-là unique. Ce phénomène a fait prendre conscience aux mathématiciens que le « sens intuitif » pouvait les gêner dans leur tâche qui consiste à déduire une chose de certaines autres, sans forcément se soucier de la « véracité » des faits démontrés à l'extérieur du système étudié. Dans ce contexte, la « qualité d'intuition » d'un mathématicien n'est pas celle qui se base sur la vie de tous les jours, mais celle qui se base sur ses connaissances et son expérience de la théorie étudiée, qui n'a, je le répète, aucune équivalence dans le monde réel (ce n'est tout simplement pas ce qu'on lui demande). Un mathématicien peut également avoir « l'intuition » que la modification du jeu d'axiomes ou des règles de production d'une théorie existante pourra être intéressante, créant ainsi une nouvelle théorie. Mais dire que 0.(9) ne peut pas être égal à 1 parce que notre intuition nous le « montre à l'évidence » n'a absolument aucun sens mathématique, tout comme de dire « mais enfin, donner moi une feuille et un crayon, je vais vous montrer que, par un point extérieur à une droite donnée, on peut faire passer une droite, pas zéro, pas deux ni trois, une seule ! ». Comme les géométries, la théorie des nombres n'est pas là pour modéliser ou refléter notre vision des choses.

Je finis en répondant à certains points abordés :

Yoann Riou a écrit:
1-C(->~) = ->0

Donc, je pense que dire que 0.99...=1 revient a faire un arrondi, et qu'en fait, on se rapproche de l'infiniment petit plutot qu'une egalite pure et simple comme 1=1.

Il faut bien comprendre qu'un raisonnement finissant par « Donc, je pense que... » est tout sauf une démonstration mathématique. Pour les raisons que j'ai exposées plus haut, ce n'est pas recevable, ou plutôt on ne parle pas de la même chose. Les notations que tu utilises sont définies rigoureusement en mathématiques. On introduit en particulier comme tu le sais les notions de limite et de séries numériques. Je ne vais pas refaire la démonstration, mais je n'ai pas besoin de te dire ce à quoi on aboutit alors. Je vais répéter que rien ne t'empêche de définir une théorie axiomatique utilisant ta symbolique, tes axiomes et tes règles de production, mais ce ne sera pas la théorie des nombres telle qu'on la connaît, et si elle permet de dériver le théorème « 0.(9) est différent de 1 » (les nombres 0.(9) et 1 appartenant à un ensemble qui serait clairement différent de l'ensemble des réels ou des rationnels que nous connaissons), alors elle risque d'avoir un intérêt limité, voire nul en comparaison de la théorie des nombres.

Yoann Riou a écrit:
Je pense que la meilleur approche pour remplacer ce 0.000...0001 est de dire qu'il tend vers 0, en parallele avec nombre de 9 qui tendent vers l'infini.

Ici, tu définis un système dans lequel un nombre peut « tendre vers quelque chose », dans lequel on « se rapproche » comme tu l'indiquais plus haut. Très bien, mais tu ne fais de nouveau plus de raisonnement sur la théorie des nombres, dans lequel un nombre est fixé et immuable. C'est, comme tu l'as dit, une « approche » ; ce nombre, quel qu'il soit, n'est pas un réel (ça ressemblerait plus à une procédure de construction). Tout dépend du contexte dans lequel on se place. Affirmer « 0.(9) = 1 » ne veut rien dire en soi, tout comme « 1 = 1 ». Il aurait fallu préciser : « dans le contexte de la théorie des nombres, l'assertion « 0.(9) = 1 » est vraie ». En pratique, on ne le précise évidemment pas toujours lorsque l'on fait des démonstrations mathématiques dans une théorie donnée, c'est implicite.

Prehisto a écrit:
0.9| n'est plus "un 0, une virgule et une décimale composée d'un nombre infini de 9" mais plutôt "un 0, une virgule et une décimale composée d'un nombre de 9 le plus grand possible". Or, il n'y a qu'une seule notation pour les deux conceptions. D'où confusion... et vide mathématique.

À la lumière de ce que je tente d'expliquer depuis le début de ce post (et dans les précédents ;) ), j'espère que tu commences à sentir où tu fais erreur. Il n'y a aucune ambiguité en mathématiques, c'est toi qui en introduit une en parlant « d'un nombre de 9 le plus grand possible ». Les mathématiques (et les mathématiciens) ne donnent pas d'interprétation ambigüe à la suite de symbole « 0.9| », « 0.(9) » ou quelle que soit la notation utilisée, à partir du moment où elle est clairement définie (et c'est toujours le cas). Il s'agit bien d'une suite de 9 illimitée dans la partie décimale. Aucune interprétation, aucun « vide mathématique », aucune confusion. Ou alors, il faut préciser dans la démonstration que, par exemple, « '...' désigne la répétition du symbole précédent un très grand nombre de fois, aussi grand que l'on veut ». Dans ce cas, tu ne trouveras pas un seul mathématicien qui te soutiendras que 0.999... = 1. Il va te démontrer avec un grand sourire (ils adorent ça ;) ) qu'il existe une infinité de nombres réels entre ces deux nombres, et qu'ils ne sont donc pas égaux.

Prehisto a écrit:
Il est compréhensible que l'égalité 0.9| = 1 soit mise en devanture. Elle a déjà sa part de sensationnel et reste la plus crédible de toutes, et donc la plus facilement défendable.

J'espère que tu conviendras après tout le mal que je me suis donné que le terme « crédible » n'est pas approprié. Dans un système formel, comme je l'expliquais dans mon post précédent, ce terme peut éventuellement s'appliquer à une conjecture, mais pas à un théorème, qui est par définition « certain ».

Prehisto a écrit:
Mais si l'on accepte que 0.9| = 1, on accepte aussi que 0=1 et que 1+2+4+8+16+... = -1

Pour en revenir aux séries que tu mentionnes, on prouve aisément qu'elle sont divergentes, et qu'on ne peut donc pas sommer tes regroupements en arithmétique classique (la sommation de séries divergentes n'est pas définie, ces séries n'existant pas en tant que nombre). Il existe des méthodes de sommation de telles séries, qui sont décrites de manière tout aussi formelle que le reste des mathématiques, et tu en as ici utilisé certaines. Comme pour les géométries non-euclidiennes, ces procédés ne rentrent en aucun cas en contradiction avec les théories existantes, ils définissent de « nouvelles petites branches », et existent parce qu'ils ont des applications intéressantes en mathématiques ou en physique et que l'arithmétique classique ne comprend pas de procédure de sommation suffisamment puissante.

Reprenons : dans le premier exemple, tu utilises deux regroupements différents, donc deux procédés de sommation différents : chaque résultat (0 puis 1) est valide dans la branche définie par le procédé choisi. Mais tu ne peux bien sûr pas ensuite comparer les deux résultats, puisqu'ils sont issus de deux « théories » différentes. Car alors, dans quelle théorie est définie l'opérateur '=' dans S1 = S2 (ici 0 = 1) ? Par analogie, dans les géométries dont je parlais, il serait alors trivial de prouver en même temps : « La droite (A) est parallèle à la droite (B) » et « la droite (A) n'est pas parallèle à la droite (B) » ; il suffit de se « déplacer » en cours de démonstration d'une géométrie à une autre...

Le second exemple semble plus intéressant, c'est une théorisation d'un « nombre infini », si je puis dire. Ici, on se place clairement dans une théorie où il est possible d'appliquer l'opération de somme et l'opération de différence à des suites divergentes du type donné. Dans ce cas pas de problème, l'entité A est strictement égale à un nombre, et A = -1 (bien que l'on puisse peut-être trouver d'autres résultats finis). De nouveau, pour reprendre l'analogie avec les géométries, on raisonne non plus dans la géométrie euclidienne mais dans la géométrie elliptique par exemple, donc les résultats ne sont ni « plus vrais » ni « plus faux », ils sont différents.

Mais je ne suis pas mathématicien, et je ne connais pas l'intérêt de ce type de calculs (il y en a certainement), il faudrait faire quelques recherches et, après cette longue prose, je n'en ai ni le temps ni le courage... ;) Une chose quand même, au passage : ces procédés ne sont pas applicables aux séries CONVERGENTES représentées par les nombres du type 0.(9). Pour ceux-là, bien entendu, il n'y a ni mystère, ni vide, ni limitation dans la théorie des nombres : 0.(9) = 1 tout comme, au passage, 27.4558(9) = 27.4559.

Pour résumer donc : tout dépend du contexte... ;)

Edit : eh bien, maintenant que je vois la longueur du post, j'espère que ce ne sera pas en vain ! ;) Le sujet est en réalité très intéressant à discuter (non pas celui de l'égalité « 0.(9) = 1 » - c'est évident ;), mais celui de la distinction entre les mathématiques et l'idée que beaucoup de personnes s'en font).


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MessagePosté: 26 Juin 2007, 16:30 
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liloboot a écrit:
(je ne connais pas vraiment tes connaissances en mathématiques, je ne sais pas très bien si tu comprends toutes les notions que j'utilise, excuse-moi si je suis parfois trop explicite ou au contraire pas assez).

Ca peut aller, ne t'inquiète pas ;)

liloboot a écrit:
Il faut bien comprendre qu'il n'y a pas « équivalence » entre les mathématiques et le monde réel (pas de bijection, pour reprendre un terme mathématique), et c'est cette indépendance des mathématiques qui fait sa force. Je ne vois pas très bien comment être plus clair.

Oui, donc c'est un truc purement mathématique.

liloboot a écrit:
Les mathématiques (et les mathématiciens) ne donnent pas d'interprétation ambigüe à la suite de symbole « 0.9| », « 0.(9) » ou quelle que soit la notation utilisée, à partir du moment où elle est clairement définie (et c'est toujours le cas). Il s'agit bien d'une suite de 9 illimitée dans la partie décimale. Aucune interprétation, aucun « vide mathématique », aucune confusion. Ou alors, il faut préciser dans la démonstration que, par exemple, « '...' désigne la répétition du symbole précédent un très grand nombre de fois, aussi grand que l'on veut ». Dans ce cas, tu ne trouveras pas un seul mathématicien qui te soutiendras que 0.999... = 1. Il va te démontrer avec un grand sourire (ils adorent ça ;) ) qu'il existe une infinité de nombres réels entre ces deux nombres, et qu'ils ne sont donc pas égaux.

C'est pourtant comme ça que je le vois toujours. Mais la distinction entre les deux... statuts ne reposerait alors que sur un "contrat oral"?

liloboot a écrit:
Mais je ne suis pas mathématicien, et je ne connais pas l'intérêt de ce type de calculs (il y en a certainement), il faudrait faire quelques recherches et, après cette longue prose, je n'en ai ni le temps ni le courage... ;)

Néanmoins, je trouve que tu t'en sors très bien.

liloboot a écrit:
Edit : eh bien, maintenant que je vois la longueur du post, j'espère que ce ne sera pas en vain ! ;) Le sujet est en réalité très intéressant à discuter (non pas celui de l'égalité « 0.(9) = 1 » - c'est évident ;), mais celui de la distinction entre les mathématiques et l'idée que beaucoup de personnes s'en font).

C'est vrai que là, ce serait la première fois que les mathématiques me décevraient.


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MessagePosté: 26 Juin 2007, 18:17 
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Prehisto a écrit:
Oui, donc c'est un truc purement mathématique.

Oui, si tu veux, les mathématiques c'est purement mathématique ! ;)

Prehisto a écrit:
liloboot a écrit:
Ou alors, il faut préciser dans la démonstration que, par exemple, « '...' désigne la répétition du symbole précédent un très grand nombre de fois, aussi grand que l'on veut ». Dans ce cas, tu ne trouveras pas un seul mathématicien qui te soutiendras que 0.999... = 1. Il va te démontrer avec un grand sourire (ils adorent ça ;) ) qu'il existe une infinité de nombres réels entre ces deux nombres, et qu'ils ne sont donc pas égaux.

C'est pourtant comme ça que je le vois toujours.

Tu veux dire que tu vois toujours 0.(9) comme comprenant un nombre aussi grand que l'on veut, mais nécessairement FINI de '9' ? Si c'est le cas, je ne peux rien faire de plus...

Prehisto a écrit:
Mais la distinction entre les deux... statuts ne reposerait alors que sur un "contrat oral"?

Pourquoi oral ? Il existe une quantité pour le moins importante d'écrits à ce sujet. Quand tu vois l'assertion « 0.(9) = 1 », il est implicite que l'on se place dans la théorie des nombres telle que tu la connais, à moins que l'on ai précisé le contraire. Toutes les mathématiques telles que tu les as apprises reposent sur ces « définitions » (axiomes + règles de production) que des ouvrages fondamentaux de référence définissent formellement de A à Z (qu'est-ce qu'un nombre naturel, un nombre réel, l'égalité, les limites, etc.). Ces derniers ouvrages sont extrêmement difficiles à appréhender pour les non-mathématiciens : leur rigueur formelle est nécessaire mais les rend « illisibles » ;) C'est pourtant à ce prix que l'on peut ensuite affirmer sans doute possible que (au hasard ;) ) 0.(9) = 1.

Prehisto a écrit:
Néanmoins, je trouve que tu t'en sors très bien.

Merci, mais j'en doute, tu sembles toujours « enfermé » dans ta vision réductrice des mathématiques et de leur rôle. D'ailleurs :

Prehisto a écrit:
C'est vrai que là, ce serait la première fois que les mathématiques me décevraient.

Cette simple remarque prouve que tu ne perçois pas ce que j'essaie d'expliquer depuis des jours. Ou plutôt, tu n'acceptes pas, car je pense que tu as compris mon argumentaire. Qu'as-tu sinon à répondre au parallèle que j'ai fait avec l'histoire de la géométrie ? Le fait que l'on puisse définir des géométries où aucune droite (A) parallèle à une droite (B) donnée ne puisse passer par un point extérieur à (B) ne te semble pas contre-intuitif ? Cela te semble correspondre au monde dans lequel nous vivons, à ta vision des choses, à ton expérience ? Merci de répondre, car si la réponse est « oui », la discussion s'arrêtera là pour ma part ;)

Je me répète : tu confonds les mathématiques et la physique. Le rôle des mathématiques n'est pas de décrire, ni de modéliser, ni de comprendre le monde réel, ni même de tenter de s'en rapprocher. Pour être clair, les mathématiques SE FICHENT ROYALEMENT du monde dans lequel elles sont étudiées, mêmes si les mathématiciens doivent quant à eux, pour faire évoluer leur discipline dans le bon sens, être attentif à ce qui se passe dans d'autres sciences. Mais alors, à quoi servent-elles ? A fournir des outils puissants, qui ne sont ni ambigus, ni « imagés », ni « mal calibrés » aux autres sciences qui, elles, tentent de comprendre et de décrire le monde réel.

Tu affirmes que les mathématiques te décevraient alors, mais c'est pourtant grâce à cette indépendance qu'elle est si importante. Si la géométrie en était restée à Euclide, ce serait bien commode pour tout le monde : on pourrait alors la comprendre plus facilement puisqu'elle n'aurait aucun concept, aucun résultat contre-intuitif (du moins je pense ;) ). Mais on passerait alors à côté d'autres géométries très puissantes, bien qu'intrinsèquement contre-intuitives. Idem pour les nombres comme je l'ai déjà écrit. Les notions de « nombre nul », puis des nombres négatifs, ont été une révolution culturelle et intellectuelle. Au moment où ils sont apparus, eux aussi étaient contre-intuitifs. Ce n'est plus le cas pour nous aujourd'hui car on nous apprend cela dès l'enfance ; ça « tombe sous le sens ». Je me souviens de la première fois où j'ai entendu parler des nombres négatifs, j'étais en CM2. J'avais entendu qu'il s'agissait de nombres plus petits que zéro. J'avais déjà assimilé cette notion de zéro depuis longtemps, cela ne me posait pas de problème, mais des nombres plus petits, comment était-ce possible ? La réponse est simple, cela n'était pas possible dans le monde réel, mais en mathématiques, des types géniaux les avaient inventés parce que ça permettait de faire de nouveaux calculs intéressants. Il n'y a rien d'autre à comprendre ;)

Et si on allait faire un petit tour sur wikipédia, pour voir ce qu'il pense des maths ?

Wikipédia a écrit:
Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce qui est vrai ou faux dans l'absolu mais relativement à des énoncés, des suppositions.

Les mathématiques sont un domaine de connaissance construit par des raisonnements hypothético-déductifs, ou par l'absurde, relativement à des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les changements. Mais les mathématiques désignent aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelle, basées sur des axiomes non soumis à l'expérience ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique, pouvant porter les noms de théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire, est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité suit une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement déductif.

Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles ils trouvent cependant des applications remarquables dans les autres sciences et dans les domaines de la technique. C'est ainsi que Eugène Wigner parle de "la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature".

Waw, voilà qui est bien parlé et qui résume parfaitement tout ce que j'ai dit, j'aurais dû y penser plus tôt ;)


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MessagePosté: 26 Juin 2007, 20:52 
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liloboot a écrit:
Ces derniers ouvrages sont extrêmement difficiles à appréhender pour les non-mathématiciens : leur rigueur formelle est nécessaire mais les rend « illisibles » ;)

Voilà qui résoudrait déjà le problème en ce qui me concerne. Si ces textes sont illisibles au profane...

liloboot a écrit:
Le fait que l'on puisse définir des géométries où aucune droite (A) parallèle à une droite (B) donnée ne puisse passer par un point extérieur à (B) ne te semble pas contre-intuitif ?

Non. Si je me souviens bien, on appelle ça des droites confondues.

liloboot a écrit:
Je me souviens de la première fois où j'ai entendu parler des nombres négatifs, j'étais en CM2. J'avais entendu qu'il s'agissait de nombres plus petits que zéro. J'avais déjà assimilé cette notion de zéro depuis longtemps, cela ne me posait pas de problème, mais des nombres plus petits, comment était-ce possible ? La réponse est simple, cela n'était pas possible dans le monde réel, mais en mathématiques, des types géniaux les avaient inventés parce que ça permettait de faire de nouveaux calculs intéressants. Il n'y a rien d'autre à comprendre ;)

Tout à fait, mais j'ai l'impression que pour passer aux nombres dont la décimale est absolument infinie, on a brûlé une étape.

Parce qu'un nombre est fini par nature, même si on y inclut une part d'infinitude, et même s'il est conceptualisable qu'il soit infini. Or la seule notation est accaparée par l'infinité stricte. N'y a-t-il donc qu'une seule façon d'envisager le caractère "infini" d'un nombre?

Wikipédia a écrit:
Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce qui est vrai ou faux dans l'absolu mais relativement à des énoncés, des suppositions.

Les mathématiques sont un domaine de connaissance construit par des raisonnements hypothético-déductifs, ou par l'absurde, relativement à des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les changements. Mais les mathématiques désignent aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelle, basées sur des axiomes non soumis à l'expérience ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique, pouvant porter les noms de théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire, est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité suit une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement déductif.

Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles ils trouvent cependant des applications remarquables dans les autres sciences et dans les domaines de la technique. C'est ainsi que Eugène Wigner parle de "la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature".

C'est ok pour moi. Pas de problème.

PS: Si j'a parlé de "matheux", c'est plutôt pour définir les gens comme moi.


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MessagePosté: 27 Juin 2007, 23:14 
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Prehisto a écrit:
liloboot a écrit:
Ces derniers ouvrages sont extrêmement difficiles à appréhender pour les non-mathématiciens : leur rigueur formelle est nécessaire mais les rend « illisibles » ;)

Voilà qui résoudrait déjà le problème en ce qui me concerne. Si ces textes sont illisibles au profane...

Prehisto a écrit:
PS: Si j'a parlé de "matheux", c'est plutôt pour définir les gens comme moi.

Nous ne devons donc pas avoir la même interprétation du mot « matheux » ;) Normal : la langue française, c'est beaucoup moins rigoureux que les maths ;)

Blague à part, il existe des ouvrages de vulgarisation des mathématiques pour ceux que ça intéresse, mais je ne sais pas vraiment ce qu'ils valent.

Prehisto a écrit:
liloboot a écrit:
Le fait que l'on puisse définir des géométries où aucune droite (A) parallèle à une droite (B) donnée ne puisse passer par un point extérieur à (B) ne te semble pas contre-intuitif ?

Non. Si je me souviens bien, on appelle ça des droites confondues.

J'ai la désagréable impression que tu fais moins d'efforts pour comprendre que moi pour t'expliquer. Tu ne réponds pas à la question. Je ne parle pas de trouver une droite parallèle qui NE PASSE PAS par un point extérieur, je parle de trouver une droite parallèle qui PASSE par un point extérieur. Relis bien, visualise la situation dans la tête, prends une feuille si nécessaire :

Soit (A) une droite.
Soit P un point EXTÉRIEUR à (A).
Existe-t-il oui ou non une droite (B) qui ait les propriétés suivantes :
(1) Le point P appartient à (B) (note bien que les droites ne sont alors pas confondues) ;
(2) (B) est parallèle à (A).

Prehisto a écrit:
Tout à fait, mais j'ai l'impression que pour passer aux nombres dont la décimale est absolument infinie, on a brûlé une étape.

Mais non, « l'étape » en question est dans la littérature mathématique et peu importe qu'on la brûle, maintenant qu'on est dans l'aire du numérique : vous verrez mesdames et messieurs que bientôt votre MO5 pourra stocker toute cette connaissance grâce à sa nouvelle extension mémoire (sous réserve) !

Prehisto a écrit:
Parce qu'un nombre est fini par nature,

Références ? Je serais (sérieusement) très curieux de lire les bouquins ou de m'entretenir avec les profs qui t'ont inculqué de telles inepties.

Mais j'exagère : peut-être qu'un jour une théorie dans laquelle les nombres sont finis fera autorité et sera enseignée à la place de la théorie des nombres actuelle (mais ça ne pourra en aucun cas être une extension de la théorie actuelle). On ne peut jamais être sûr de rien.

Ou plutôt si ;) Il n'y a qu'UN SEUL CONTEXTE à ma connaissance où l'on peut être sûr de quelque chose. Ce n'est pas à la légère que j'ai employé l'expression « absolument certain » dans un précédent post (je suis d'un naturel très sceptique ;) ). Le contexte, ce sont les mathématiques. Le quelque chose, c'est un théorème. J'ai beaucoup plus confiance dans un théorème mathématique (et même une confiance absolue, mais je te voir venir, Gödel !) que dans le fait que je suis en train d'écrire ce message (après tout, je pourrai être en train de rêver, ou alors... My God, je suis peut-être schizophrène !). Le caractère VRAI d'un théorème ne se discute pas car il est l'ESSENCE-MÊME du terme. Quand tu auras compris cela, on pourra reparler si tu le souhaites des démonstrations du THÉORÈME de la théorie des nombres : « 0.(9) = 1 ».

Prehisto a écrit:
même si on y inclut une part d'infinitude, et même s'il est conceptualisable qu'il soit infini. Or la seule notation est accaparée par l'infinité stricte. N'y a-t-il donc qu'une seule façon d'envisager le caractère "infini" d'un nombre?

Je m'aperçois en lisant ceci et certains de tes premiers posts qu'en réalité, tu sembles nier l'existence d'un nombre à décimales infinies dans ce que tu appelles les « mathématiques conventionnelles ». Eh bien, désolé de te l'apprendre, mais ces « mathématiques conventionnelles » que tu sembles avoir étudiées n'ont pas défini la théorie des nombres telle que moi je la connais. Dans la mienne, l'ensemble des nombres rationnels (et des réels par extension) est justement basé sur la notion de développement décimal illimité.

Si ton problème correspond juste à un « vide » concernant la notation, celui-ci n'existe donc pas : par convention, en mathématiques, la suite de symboles 0.(9) (ou 0.9| ou autre) désigne un développement décimal illimité, et donc par définition un nombre rationnel. Si un mathématicien veut parler de ton « infini conventionnel », il n'utilisera bien sûr pas cette notation, et il devra expliciter clairement en des termes mathématiques, qu'il travaille avec un nombre très grand mais fini de '9'. Je ne vois vraiment pas où est le problème.

Prehisto a écrit:
C'est ok pour moi. Pas de problème.

C'est bien ce que je disais ;)


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MessagePosté: 28 Juil 2010, 18:50 
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déterrage de vieux msg

Prehisto a écrit:
Il faudrait en déduire donc que 1+2+4+8+16+32+64+... = -1.

Finalement c'est logique. En 8, 16 32 bit c'est bien ce qu'on a: -1 = 1+2+4+8+16+32+... en complément à 2.

Plus généralement parlant il existe une catégorie de nombre dit p-adiques (ici p=2) qui représentent des nombres qui s'écrivent avec un nombre infinis de chiffres à gauche. Avec p=2 on a affaire à une sorte des nombres binaires pour une machine Image bit (des registres binaires infinis, sans carry ni overflow!). Du coup si on ajoute 1 à ce registre ayant tous ses bits à 1, le 1er bit passe à 0, avec une carry à 1 pour le 2nd bit, qui passe à zéro à son tour et ainsi de suite: tous les bits passent à zéro avec une carry se propageant à l'infini. Ceci nous "montre" que l'opposé de 1 est un truc avec tous les bits allumés (vu que leur somme est nulle).

Ces nombres sont rigolos car comme en informatique ils représentent des entiers finis positifs ou négatifs (il suffit d'inverser tous les bits et d'ajouter 1 pour avoir l'opposé: -x = ~x + 1), mais aussi des fractions (A = ..01010111 vérifie 3*A = A+A+A = ...0000001 = 1, donc A = 1/3 par exemple), voir même des racines de polynômes, ainsi que des trucs ressemblant aux ordinaux (des entiers "infinis" je crois).

C'est vraiment un monde curieux que ces nombres p-adique, et pourtant assez compréhensible pour les informaticiens :)

sam.


Dernière édition par Samuel Devulder le 16 Sep 2017, 21:31, édité 1 fois.

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 Sujet du message: Re: 0.999... = 1
MessagePosté: 16 Sep 2017, 15:03 
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Gros déterrage de post

Je pense toujours que l'égalité 1=0.999 est inexacte. 0.999 ne pourra jamais égaler la valeur 1 parce que la partie décimale sera toujours à 9.

Donc j'ai tenté une approche. Comme la décimale est infinie, si une erreur existe, elle est infinitésimale. Et donc... "invisible".

En résumant férocement ma démarche de réflexion :

Pour que 0.9 soit égal à 1, il faut ajouter 0.1
Pour que 0.99 soit égal à 1, il faut ajouter 0.01
Pour que 0.999 soit égal à 1, il faut ajouter 0.001
etc...
etc...
etc...

Donc, pour que 0.999 soit strictement égal à 1, il faudrait aussi ajouter quelque chose.

Et l'exprimer plutôt sous la forme :

1 = 0.999 + 1/∞

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 Sujet du message: Re: 0.999... = 1
MessagePosté: 16 Sep 2017, 15:46 
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Ah oui c'est un sacré déterrage ca :)

Pour poursuivre ton raisonnement, remarquons que la quantité 1/∞ ne désigne rien d'autre que 0, autrement dit 1/∞ = 0. Il en découle que 0.9999... + 1/∞ = 0.9999... + 0 = 0.9999... = 1 cqfd (oops :roll: ;) )

Il y a eu un article de "Pour la science" sur ce sujet: http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a ... -37287.php (incomplet si on est pas abonné)

David Louarp a aussi écrit un billet à ce sujet: https://sciencetonnante.wordpress.com/2 ... -vraiment/

La difficulté est lié à celle de l'infini. Les ".." signifie un truc pas facile à comprendre. L'infini ne veut pas formellement dire, contrairement à l'intuition, "très grand". En fait c'est quelque chose d'autre qui doit se traiter avec des outils plus puissant que la généralisation directe depuis le cas fini. La généralisation directe conduit d'ailleurs parfois à des résultats faux. Par exemple ca n'est pas parce que 1!=0.9, 1!=0.99, 1!=0.999, ... que nécéssairement 1!=0.9999... Non! Pou traiter ces "..." il faut utiliser des outils plus puissant comme la notion formelle de limite ou d'autre type de sommation (césaro, Abel, ou Ramanunjan).

Les trois points de suspension sont bourrés d'implicites, implicite qu'il est difficile à manier sans les bons outils. Sans eux on a du mal à comprendre certaines égalités, comme celles-ci par exemple: 1-2+3-4+5-... = 1/4 (on a un nombre fini alors que les sommes intermédiaires divergent) ou 1+2+3+4+5+.... = -1/12 (on somme des positifs et le résultat est négatif). Bref ces "..." sont dangereux, non pas à manipuler, mais à écrire car on ne sait pas de quels outils dispose le lecteur pour les comprendre.

Perso, quand on a pas les outils formels sous la main je dis juste que tout nombre (décimal: de la forme entier/10^n) a deux écritures. L'une propre (finie, par exemple 1.0) et l'autre impropre (infinie, cf 0.999....). Ces deux écriture définissent le meme nombre réel, unique. Il n'est pas choquant que plusieurs suites de chiffres (vue comme une chaine de caractère) définissent le même nombre. Par exemple 1, 1.0, 1.00 et 1.000 sont trois écritures différentes de la même valeur, et finalement 0.999... en est juste une autre en plus. Rien de choquant.

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 Sujet du message: Re: 0.999... = 1
MessagePosté: 16 Sep 2017, 16:27 
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Oui alors évidemment, si on part du principe que la différence entre 0.999 et 1 est nulle, et que 1/∞ est nul, l'égalité est facilement vérifiée.
Mais es-tu bien sûr que 1/∞ = 0 ?
Ou alors, en secouant le shaker, 0*∞=1 ou ∞=1/0 ?

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