Prehisto a écrit:
Le nombre 0.0000...001 n'existe pas ?
Ca n'est pas qu'il n'existe pas, c'est surtout que ce n'est pas un nombre. C'est une suite de caractères, et toute suite de caractère n'est pas forcément un nombre. Penses à sqrt(2-...). Ca n'est pas un nombre non plus, c'est une syntax-error. Ici 0.0000...001 donne un beau: "Error: unexpected symbol 001 after ...".
Citation:
Il doit exister, mais s'il existe, il est fini.
Un nombre existe, mais là ca n'est même pas un nombre. Je le redis, une suites de caractères ne défini pas forcément un nombre. Qui plus est, je vois mal pourquoi il serait fini vu qu'il y a des "...".
Citation:
Je pense que la confusion principale réside dans le fait que l'on ne parle pas de la valeur du nombre mais bien du nombre de chiffres qui le compose, ce qui est une autre dimension.
La notion du nombre de chiffres d'un nombre n'est pas très bien définie, et en particulier cela n'est pas forcément un nombre. Si c'est un nombre, il devrait être pair ou impair. Quelle est la parité du nombre de chiffres de ln(3) ?
Citation:
Et j'ai l'impression que les adeptes de "1=0.999..."
Attention, les adeptes sont un truc religieux avec des dogmes, choses que les maths n'ont pas. Depuis la secte des Pytagoriciens (dont le dogme était: toute quantité constructible avec les outils du géomètre est un nombre rationnel), il y a séparation des maths et de la religion.
Citation:
jouent sur les deux tableaux pour faire accepter leur théorie
Dire "'0.9999....=1" n'est pas une théorie, un axiome, mais un théorème. C'est complètement différent. Un théorème est un truc démontré. Un axiome est un trucs un truc qu'on crois tellement vrai qu'il est admis sans fournir de preuve. Qui plus est un axiome doit être minimal: on ne doit pas pouvoir le démontrer à partir des autres axiomes. A noter: il ne faut pas non plus que l'axiome entre en contradiction avec les autres axiomes. Ce fut le plus gros boulot des mathématiques du 20e siecle que de montrer que les axiomes couramment utilisés sont minimaux et non-contradictoires.
Les axiomes qui font qu'on obtient "0.999...=1" sont principalement ceux de la
théorie ensembles qui permet de définir de proche en proche tout les objets mathématiques qu'on nous fait apprendre à l'école. Ca commence par les ensembles, à partir desquels on
construit les entiers naturels. A partir des entiers naturels, on construit les
entiers relatifs. A partir des entiers relatifs on
construit les rationnels. Ensuite à partir des rationnels on
construit les réels, et enfin à partir des réels on construit
les nombre complexes.
Ces constructions sont tout à fait rigoureuses et s’enchaînent les unes aux autres, un peu comme un programme appelle un sous-programme. Les complexes n'existeraient pas si on avait pas les réels sur lesquels s'appuyer. A leur tour, les réels n'existeraient pas sans les rationnels,... etc et au final rien n'existerait sans la racine de tout: les ensembles.
Dans ces constructions de structures de plus en plus élaborées, il est démontré que 0.9999.... et 1 sont
deux écritures de la même et unique valeur. Dans toutes les expressions, dans tous les calculs on peut substituer l'un par l'autre si ca nous chante sans que ca altère les valeurs de vérité de l'expression ou du calcul. C'est pour ca que quelque soit le calcul que l'on fasse pour trouver une autre écriture à 0.9999.... on retombe toujours sur 1 à chaque fois.
Si on décide que dans la "réalité" (quel que soit le sens que cela veuille dire en maths) ce sont deux valeurs différentes (et donc que ne peut pas les substituer), cela reviendrait à dire que l'on rejette au moins l'un des axiomes de départ. Par exemple, on serait contraint de dire que la notion d'ensemble n'existe pas. Et ca très peu de gens sont prêts à l'accepter de nos jours (au début du 20e siècle, l'existence des ensemble était sujet à de très vifs débats.)
Donc bref, "0.9999...=1" n'est pas un axiome, mais un truc démontré à partir d'axiomes bien plus fondamentaux que tout le monde a admis comme vrai. On a beau se tordre la tête dans tous les sens quand on cherche à montrer qu'ils sont différent on y arrive pas et c'est logique: tout ca vient des briques ultra-fondamentales, robustes comme du béton armé.