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 Sujet du message: Re: 0.999... = 1
MessagePosté: 16 Sep 2017, 16:57 
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Prehisto a écrit:
Mais es-tu bien sûr que 1/∞ = 0 ?

Il faudrait préciser ce qu'on entends pas l'écriture "1/∞". Moi j'entends par là lim(1/n), la limite des inverses des entiers. Un nombre qui est plus petit que tous les 1/n. Et cette valeur là vaut précisement 0 à partir de la définition formelle de lim.

En fait, en matière de réels, tout n'est souvent qu'une question de limites. Les réels sont même par définition l'ensemble de toutes les limites de suites (de cauchy, mais c'est un détail technique).

En utilisant cette unification des réels aux limites, il suit naturellement que l'écriture 0.99999.... désigne par définition lim(sum(9/10^k, k=0..n)). Or cette limite, lim(1-1/10^(n+1)) est égale à 1 - lim(1/10^(n+1)) = 1 - lim(1/10^n)/10 = 1 - lim(1/N)/10 {car 1/10^n est une sous suite extraite de 1/N} = 1 - 0/10 = 1 - 0 = 1. Bref, en considérent les réels comme des limites, on obtient naturellement 1=0.99999...

Après, si on utilise une autre définition pour les réels (analyse non standard de Robinson), l'égalité est peut-être moins naturelle, voire même carément fausse (tout dépend du sens de ces "...").

PS: l'analyse non standard c'est balèze, mais carrément cool :)

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 Sujet du message: Re: 0.999... = 1
MessagePosté: 17 Sep 2017, 10:47 
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Sauf que j'ai bien écrit "1/∞" et non "lim(1/n)". Je ne parle pas du plus petit 1/n, je parle du plus petit 1/n non nul.

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 Sujet du message: Re: 0.999... = 1
MessagePosté: 17 Sep 2017, 12:52 
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En fait la limite est un truc implicite quand on parle des réels. Tous les réels sont fondamentalemen des limites de suites. Chercher 1/infinity dans les réels est équivalent à rechercher le réel lim(1/n).

Citation:
Je ne parle pas du plus petit 1/n, je parle du plus petit 1/n non nul.

Le plus petit 1/n non nul n'existe pas, car si tu prends sa moitié 1/(2n) est est encore plus petit et toujours pas nul. Conclusion logique: cet infiniment petit n'existe pas (ou n'est pas un réel.)

Ce qui "tue" son existance, c'est de le supposer non nul. En fait avec les limites, on peut avoir que pour tout n: 1/n>0, mais c'est pas pour autant vrai que lim(1/n)>0. La limite d'une suite de points prise dans un ensemble peut aller jusqu'à la valeur d'adhérence de cet ensemble, et cette valeur d'adhérence n'appartient pas forcément à l'ensemble. C'est de la topologie pure et dure. C'est ardu, ca fait des noeuds au cerveau mais passionnant à étudier.

Commencons simplement par un petit exemple. Racine carrée de deux, Sqrt(2), c'est le réel qu'on connait tous comme 1.414, oui? ... et fait non, pas du tout. Ce sont les ingénieurs qui le connaissent comme ca du point de vue décimal. Les mathématiciens eux vont juste le voir comme la diagonale d'un carré de 1 coté et pour ca pas besoin d'écriture décimale. Ils n'ont d'ailleurs pas besoin de l'écriture pour travailler avec ce nombre. En revanche ce dont ils ont besoin c'est une définition. Par exemple sqrt(2) = la borne sup des rationnels p/q tels que p^2<=2q^2. A noter: je dis borne sup, et pas le plus grand et c'est intentionnel. Le plus grand des rationnels p/q tels que p^2<=2q^2 n'existe pas. La borne sup, elle existe. Ce n'est pas un rationnel, mais un réel. Le sup existe mais en sortant de l'ensemble de départ.

Comment est-il possible d'exister à l'exterieur de l'ensemble qui nous a vu naitre? C'est curieux ca, et c'est même difficile à admettre. Il aura fallu plusieurs millénaires de reflexion (depuis les pythagoriciens) pour mettre cela au clair. Et la solution trouvée par les matheux pour formaliser ce max cela est géniale de simplicité: Ils ont utilisés la notion de limite. Le sup qui sort de l'ensemble de départ est une limite, et alors que tous les p/q considérés sont dans l'ensemble de départ (rationnels), cette limite, le sup lui ne l'est pas. La lim() est un truc qui dépasse l'ensemble de départ pour atteindre des éléments plus grands. En fait pas beaucoup plus grand. Ils touchenttout juste aux elements de cet ensemble. Ils leur collent. Colle, oui, et c'est pour ca qu'on parle d'une valeur d'adhérence.

Sqrt(2) est ainsi une valeur d'adhérence des rationnels. Ca n'est pas un rationnel, mais ca lui colle tout juste. Idems pour sqrt(3), log(2) et autre irrationnels qu'on a appris à manipuler à l'école. En fait en maths on définit même les réels en disant que c'est la valeur d'adhérence à l'ensemble des rationnels, la petite peau qui colle aux rationnels.

C'est carrément génial! Lim(machin) permet d'aller au delà de l'ensemble des machins. Avec lui on passe des rationnels aux réels, et ca marche tres bien. Tellement bien qu'on fini par ne plus y penser: on traite sqrt(2) comme on traite 10/7, alors que l'un est une limite de rationnels et l'autre un vrai bon rationnel vénéré par les pythagoricien.

Bon je ne sais pas si je suis clair, mais ce qu'il faut comprendre c'est qu'un réel est une limite, et inversement une limite défini un réel. Les propriétés des limites sont spéciales. Tu peux avoir chacun des termes de la limite strictement positif, et pourtant la limite être nulle. C'est comme ca. Les limites permettent de passer d'un ensemble à sa valeur d'adhérence et "Bang!" étendre l'ensemble de départ. Mais attention c'est un pistolet à coup unique parce qu'on peut démontrer que l'adhérence de l'adhérence d'un ensemble est l'adhérence de l'ensemble tout court. Bref l'opération de passage à l'adhérence ne change rien à un ensemble qui est déjà une valeur d'adhérence.

Oui j'ai prévenu que ca faisait des noeuds au cerveau :)

Enfin pour finir, signalons qu'on peut certes écrire 1/infinity, mais on prétends que c'est un réel, on doit être capable de fournir une suite qui le défini. Et c'est là où ca échoue toujours. En effet, si on prends la suite des 1/n par exemple ou n'importe quelle sous-suite extraite, et bien elles définissent déjà le 0 classique. Donc, si 1/infinity existe, il n'existe pas dans les réels, ni dans l'adhérence des réels, car les réels sont déjà une valeur d'adhérence. Où alors ? nulle part. Autant dire qu'il n'existe pas: on ne peut pas donner un sens utilisable à cette expression. :L

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 Sujet du message: Re: 0.999... = 1
MessagePosté: 19 Sep 2017, 09:58 
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Samuel Devulder a écrit:
En fait la limite est un truc implicite quand on parle des réels. Tous les réels sont fondamentalemen des limites de suites. Chercher 1/infinity dans les réels est équivalent à rechercher le réel lim(1/n).

Ok. Il est tout à fait possible que ma notation soit erronée, mais c'est à mettre sur le compte de mes lacunes en mathématiques. Je ne sais pas comment on pourrait noter "le plus petit 1/n non nul", mais j'ai pour excuse que cette notation n'existe probablement pas.

Samuel Devulder a écrit:
Prehisto a écrit:
Je ne parle pas du plus petit 1/n, je parle du plus petit 1/n non nul.

Le plus petit 1/n non nul n'existe pas, car si tu prends sa moitié 1/(2n) est est encore plus petit et toujours pas nul.

Non. 1/n comprend aussi 1/(2n), car "n" est indéfini.

Samuel Devulder a écrit:
Ce qui "tue" son existance, c'est de le supposer non nul. En fait avec les limites, on peut avoir que pour tout n: 1/n>0, mais c'est pas pour autant vrai que lim(1/n)>0. La limite d'une suite de points prise dans un ensemble peut aller jusqu'à la valeur d'adhérence de cet ensemble, et cette valeur d'adhérence n'appartient pas forcément à l'ensemble. C'est de la topologie pure et dure. C'est ardu, ca fait des noeuds au cerveau mais passionnant à étudier.

Pas si ardu que ça. C'est un concept admis depuis le moment où on attaque les encadrements, où la limite "infini" est toujours exclue de l'ensemble.

Samuel Devulder a écrit:
Oui j'ai prévenu que ca faisait des noeuds au cerveau :)


Je confirme.
Mais il y a des concepts qui m'échappent encore. Et puisque nous en sommes aux exemples :
Code:
0.0000...00001

Voilà bien un nombre qui intrigue. Comment ce nombre pourrait avoir une décimale infinie alors qu'on en connaît le premier et le dernier chiffre ? Si le nombre de 0 est infini, alors le 1 tombe... derrière l'infini ? Impossible. Donc le nombre de 0 ne peut pas être infini, même si la notation le suggère.

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 Sujet du message: Re: 0.999... = 1
MessagePosté: 19 Sep 2017, 10:46 
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Prehisto a écrit:
Mais il y a des concepts qui m'échappent encore. Et puisque nous en sommes aux exemples :
Code:
0.0000...00001

Voilà bien un nombre qui intrigue. Comment ce nombre pourrait avoir une décimale infinie alors qu'on en connaît le premier et le dernier chiffre ? Si le nombre de 0 est infini, alors le 1 tombe... derrière l'infini ? Impossible. Donc le nombre de 0 ne peut pas être infini, même si la notation le suggère.

Oui ce nombre n'existe pas. Enfin c'est juste une écriture qui ne désigne pas une valeur. Une écriture, une suite de caractères qui ressemble à l'écriture d'un nombre mais qui n'en est pas un. C'est similaire à 1....000000, cad un nombre "infini" avec un chiffre terminal à gauche. Ca n'a pas de sens. Ca n'existe pas.

Tout ca ne sont que des écritures qui n'ont pas de sens comme celle-ci: "1-sin(^2/5)*3". Elle ressemble à un truc qu'on connait et qui a du sens, mais elle n'en a pas. Enfin si une seule interprétation: syntax-error! mais on ne va pas très loin avec ca ;)

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 Sujet du message: Re: 0.999... = 1
MessagePosté: 19 Sep 2017, 12:56 
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Effectivement, il y a un petit problème avec ce nombre : https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...#Revisiting_subtraction + début de "p-adic numbers" juste en dessous.
Bon ben, la voie a été déjà empruntée aussi...

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 Sujet du message: Re: 0.999... = 1
MessagePosté: 20 Sep 2017, 17:25 
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Le nombre 0.0000...001 n'existe pas ? Il doit exister, mais s'il existe, il est fini.

Je pense que la confusion principale réside dans le fait que l'on ne parle pas de la valeur du nombre mais bien du nombre de chiffres qui le compose, ce qui est une autre dimension. Et j'ai l'impression que les adeptes de "1=0.999..." jouent sur les deux tableaux pour faire accepter leur théorie, alors qu'il faudrait se tenir seulement à un seul. Si le nombre de 9 de la partie décimale de "0.999...." est infini, alors la partie entière se trouve où ? Hors de l'infini ?

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 Sujet du message: Re: 0.999... = 1
MessagePosté: 20 Sep 2017, 20:51 
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Prehisto a écrit:
Le nombre 0.0000...001 n'existe pas ?
Ca n'est pas qu'il n'existe pas, c'est surtout que ce n'est pas un nombre. C'est une suite de caractères, et toute suite de caractère n'est pas forcément un nombre. Penses à sqrt(2-...). Ca n'est pas un nombre non plus, c'est une syntax-error. Ici 0.0000...001 donne un beau: "Error: unexpected symbol 001 after ...".
Citation:
Il doit exister, mais s'il existe, il est fini.
Un nombre existe, mais là ca n'est même pas un nombre. Je le redis, une suites de caractères ne défini pas forcément un nombre. Qui plus est, je vois mal pourquoi il serait fini vu qu'il y a des "...".
Citation:
Je pense que la confusion principale réside dans le fait que l'on ne parle pas de la valeur du nombre mais bien du nombre de chiffres qui le compose, ce qui est une autre dimension.
La notion du nombre de chiffres d'un nombre n'est pas très bien définie, et en particulier cela n'est pas forcément un nombre. Si c'est un nombre, il devrait être pair ou impair. Quelle est la parité du nombre de chiffres de ln(3) ?
Citation:
Et j'ai l'impression que les adeptes de "1=0.999..."
Attention, les adeptes sont un truc religieux avec des dogmes, choses que les maths n'ont pas. Depuis la secte des Pytagoriciens (dont le dogme était: toute quantité constructible avec les outils du géomètre est un nombre rationnel), il y a séparation des maths et de la religion.
Citation:
jouent sur les deux tableaux pour faire accepter leur théorie
Dire "'0.9999....=1" n'est pas une théorie, un axiome, mais un théorème. C'est complètement différent. Un théorème est un truc démontré. Un axiome est un trucs un truc qu'on crois tellement vrai qu'il est admis sans fournir de preuve. Qui plus est un axiome doit être minimal: on ne doit pas pouvoir le démontrer à partir des autres axiomes. A noter: il ne faut pas non plus que l'axiome entre en contradiction avec les autres axiomes. Ce fut le plus gros boulot des mathématiques du 20e siecle que de montrer que les axiomes couramment utilisés sont minimaux et non-contradictoires.

Les axiomes qui font qu'on obtient "0.999...=1" sont principalement ceux de la théorie ensembles qui permet de définir de proche en proche tout les objets mathématiques qu'on nous fait apprendre à l'école. Ca commence par les ensembles, à partir desquels on construit les entiers naturels. A partir des entiers naturels, on construit les entiers relatifs. A partir des entiers relatifs on construit les rationnels. Ensuite à partir des rationnels on construit les réels, et enfin à partir des réels on construit les nombre complexes.

Ces constructions sont tout à fait rigoureuses et s’enchaînent les unes aux autres, un peu comme un programme appelle un sous-programme. Les complexes n'existeraient pas si on avait pas les réels sur lesquels s'appuyer. A leur tour, les réels n'existeraient pas sans les rationnels,... etc et au final rien n'existerait sans la racine de tout: les ensembles.

Dans ces constructions de structures de plus en plus élaborées, il est démontré que 0.9999.... et 1 sont deux écritures de la même et unique valeur. Dans toutes les expressions, dans tous les calculs on peut substituer l'un par l'autre si ca nous chante sans que ca altère les valeurs de vérité de l'expression ou du calcul. C'est pour ca que quelque soit le calcul que l'on fasse pour trouver une autre écriture à 0.9999.... on retombe toujours sur 1 à chaque fois.

Si on décide que dans la "réalité" (quel que soit le sens que cela veuille dire en maths) ce sont deux valeurs différentes (et donc que ne peut pas les substituer), cela reviendrait à dire que l'on rejette au moins l'un des axiomes de départ. Par exemple, on serait contraint de dire que la notion d'ensemble n'existe pas. Et ca très peu de gens sont prêts à l'accepter de nos jours (au début du 20e siècle, l'existence des ensemble était sujet à de très vifs débats.)

Donc bref, "0.9999...=1" n'est pas un axiome, mais un truc démontré à partir d'axiomes bien plus fondamentaux que tout le monde a admis comme vrai. On a beau se tordre la tête dans tous les sens quand on cherche à montrer qu'ils sont différent on y arrive pas et c'est logique: tout ca vient des briques ultra-fondamentales, robustes comme du béton armé.

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